Laboratoire interactif
Huit simulations qui tournent dans le navigateur, pour explorer le cours en manipulant les paramètres.
Tous les calculs sont faits en direct dans la page (aucun serveur) : éléments finis de Hermite, solveur linéaire, problème aux valeurs propres généralisé. Les mêmes simulations apparaissent dans les transparents et dans les notes de cours.
1 · Cinématique de Kirchhoff
Poutre encastrée sous charge de bout : les sections restent perpendiculaires à l’axe déformé (\(\phi_z=v'\)). Comparez la rotation exacte avec le champ linéarisé \(\bm u\approx(-y\,v',\,v)\), et regardez la contrainte \(\sigma_{xx}=-Ey\,v''\) varier linéairement dans l’épaisseur.
2 · Fonctions d’interpolation d’Hermite
Quatre ddl \((v_1,\phi_1,v_2,\phi_2)\) et un polynôme cubique : choisissez un préréglage pour retrouver chaque \(N_i\) ou les mouvements rigides.
3 · Matrices élémentaires
La colonne \(j\) de \(\bm K_e\) est le jeu d’efforts nodaux qui impose le ddl \(j\) unitaire, les autres étant nuls. Pour un mouvement rigide, tous les efforts sont nuls : \(\bm K_e\) est singulière.
4 · Assemblage
Les contributions des éléments se recouvrent aux nœuds partagés et s’additionnent.
5 · Poutre encastrée : flèche, moment et convergence
La solution éléments finis est tracée avec la solution exacte (tirets). Les réactions sont exactes quel que soit le maillage ; l’erreur sur la flèche décroît en \(h^4\) pour la charge répartie ; avec une force nodale seule, la solution est exacte aux nœuds et entre les nœuds (la solution exacte est cubique entre deux nœuds chargés).
6 · Modes propres
Fréquences et formes des modes d’une poutre encastrée–libre, appuyée–appuyée ou encastrée–encastrée, comparées à \(\omega_i=(\beta_iL)^2\sqrt{EI/(\rho S L^4)}\).
7 · Invariance modale
Une condition initiale colinéaire à un seul mode produit un mouvement synchrone qui garde la même forme ; une combinaison de modes produit un mouvement dont la forme évolue.
8 · Réduction modale
Réponse en fréquence en bout de poutre (40 ddl) : la base réduite à \(m\) modes reproduit la réponse complète dans la bande utile si elle contient les modes qui y résonnent.