\(\renewcommand{\div}{\operatorname{div}}\newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}}\newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}}\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}\newcommand{\curl}{\operatorname{curl}}\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}\)

Laboratoire interactif

Six simulations qui tournent dans le navigateur, pour explorer le cours en manipulant les paramètres.

Tous les calculs sont faits en direct dans la page (aucun serveur) : séries de Navier, systèmes de Ritz, problèmes aux valeurs propres généralisés. Les mêmes simulations apparaissent dans les transparents et dans les corrigés des PC 1 et PC 2.

1 · Solution de Navier

Plaque rectangulaire simplement appuyée, \(D\Delta^2 w = q\), avec \(w=\sum W_{mn}\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}\). Changez le nombre de termes, le rapport des côtés, ou passez à une charge ponctuelle et cliquez sur la plaque pour la déplacer.

2 · Coefficient de flambement

\(N_{mn}=k\,\pi^2D/b^2\) avec \(k=\left(\frac{m}{\alpha}+\frac{n^2\alpha}{m}\right)^2\). Faites varier \(\alpha=a/b\) et observez les changements de mode en \(\alpha=\sqrt{m(m+1)}\).

3 · Ritz à un terme

Choisissez les conditions aux limites des quatre bords : l’enveloppe \(g_{B_0B_1}(\xi)=\xi^{r(B_0)}(1-\xi)^{r(B_1)}\) est construite automatiquement, les intégrales 1D sont calculées exactement (fractions) et la flèche et la charge de flambement de Rayleigh en découlent.

4 · Convergence de Rayleigh–Ritz

Problème aux valeurs propres généralisé \(\mathbf K\mathbf c=-\lambda\mathbf K_G\mathbf c\) résolu en direct. La valeur approchée est toujours une borne supérieure de la charge critique.

5 · Disque encastré sous force ponctuelle

La solution exacte contient un terme \(r^2\ln r\) que les polynômes peinent à représenter : regardez la lenteur de la convergence.

6 · Plaque vs poutre

Déformées de la plaque en traction-flexion dans son plan (PC 1, exercice 1) : l’écart entre les deux modèles est entièrement dû à l’effet Poisson.